Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N⁺）．
（1）求证：数列{

an

2n

}为等差数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N⁺）．两边都除以2ⁿ可得

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，即可证明；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N⁺）．
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
∴数列{

an

2n

}为等差数列，公差为1，首项

a1

21

=

1

2

．
（2）解：由（1）可得：

an

2n

=

1

2

+(n-1)×1=

2n-1

2

．
∴an=(2n-1)×2n-1．
S_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-3）×2^n-2+（2n-1）×2^n-1，
2S_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴-S_n=1+2×2+2×2²+…+2×2^n-1-（2n-1）×2ⁿ=

2×(2n-1)

2-1

-1-（2n-1）×2ⁿ=（3-2n）×2ⁿ-3，
∴Sn=(2n-3)×2n+3．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．