Question

15．已知一个球的表面上有A、B、C三点，且AB=AC=BC=2$\sqrt{3}$，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为（　　）

• A． 20π
• B． 15π
• C． 10π
• D． 2π

Answer 1

分析 由正弦定理可得截面圆的半径，进而由勾股定理可得球的半径和截面圆半径的关系，解方程代入球的表面积公式可得．

解答 解：由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形ABC的外接圆O′，
设截面圆O′的半径为r，由正弦定理可得2r=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，解得r=2，
设球O的半径为R，∵球心到平面ABC的距离为1，
∴由勾股定理可得r²+1²=R²，解得R²=5，
∴球O的表面积S=4πR²=20π，
故选：A．

点评 本题考查球的表面积公式，涉及勾股定理和正弦定理，属中档题．