Question

19．△ABC的外接圆圆心为P，若点P满足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），则cos∠BAC=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由题意，设BC中点M，得到$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AM}$，结合已知，得到∠BPM=∠BAC．

解答 解：设BC边中点为M，则$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AM}$，由题设$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴5$\overrightarrow{AP}$=4$\overrightarrow{AM}$
∴A、P、M共线，且AP=4PM，而∠BPM=2∠BAM，
∴∠BPM=∠BAC，
即cos∠BAC=$\frac{PM}{PB}$=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$

点评 本题考查了向量共线性质的运用；关键是明确A，P与BC中点三点共线，得到∠BPM=∠BAC．