Question

15．在极坐标系中，已知三点A（4，0）、$B（4，\frac{3π}{2}）$、$C（ρ，\frac{π}{6}）$．
（1）若A、B、C三点共线，求ρ的值；
（2）求过OAB三点的圆的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）由题意知点A、B直角坐标为A（4，0）、B（0，-4），从而直线AB的方程为x-y-4=0，点C的直角坐标为$（\frac{{\sqrt{3}ρ}}{2}，\frac{ρ}{2}）$，由此能求出ρ的值．
（2）A（4，0）、B（0，-4）、O（0，0），设过O、A、B三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用待定系数法求出圆的方程直角坐标方程，由此能求出圆的极坐标方程．

解答 解：（1）∵在极坐标系中，已知三点A（4，0）、$B（4，\frac{3π}{2}）$、$C（ρ，\frac{π}{6}）$，
∴由题意知点A、B直角坐标为A（4，0）、B（0，-4），
∴直线AB的方程是$\frac{x}{4}-\frac{y}{4}=1$，即x-y-4=0，
又∵点C的直角坐标为$（\frac{{\sqrt{3}ρ}}{2}，\frac{ρ}{2}）$，∴$\frac{{\sqrt{3}ρ}}{2}-\frac{ρ}{2}-4=0$，
解得$ρ=4（\sqrt{3}+1）$．…（5分）
（2）∵A（4，0）、B（0，-4）、O（0，0），
∴设过O、A、B三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16+4D+F=0}\\{16-4E+F=0}\\{F=0}\end{array}\right.$，解得D=-4，E=4，
∴圆的方程为x²+y²-4x+4y=0
∴圆的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+4ρsinθ=0，
整理得ρ=4cosθ-4sinθ…（10分）

点评 本题考查实数值的求法，考查圆的极坐标方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直角坐标和极坐标互化公式的合理运用．