Question

已知直线l₁：mx-y=0，l₂：x+my-m-2=0，m∈R．
（1）求证：对m的任意实数值，l₁和l₂的交点M总在一个定圆上；
（2）若l₁与（1）中的定圆的另一个交点为P₁，l₂与（1）中的定圆的另一个交点为P₂，求△PP₁P₂面积取得最大值，并求出此时直线l₁的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（1）联立两条直线方程，消去m，即得到l₁和l₂的交点M的方程，判断M总在一个定圆上即可；
（2）通过l₁与定圆的另一个交点为P₁，l₂与定圆的另一个交点为P₂，利用（2）说明P₁P₂是圆C的直径，当且仅当圆心C（1，

1

2

）到l₁的距离等于C到l₂的距离时，△MP₁P₂面积取得最大值，利用点到直线的距离公式列出m的关系式，求出m即可得到直线l₁的方程．

解答： 证明：（1）由题意可得

mx-y=0 x+my-m-2=0

，
消去m可得x²+y²-2x-y=0，
方程表示一个以（1，

1

2

）为圆心，以

5

2

为半径的圆，
即M总在一个定圆上．
解：（2）由圆C的方程以及直线l₁的方程可知，
直线l₁恒过（0，0）点，
方程l₂：x+my-m-2=0可化为（x-2）+m（y-1）=0，
∵对于任意实数m直线l₂：x+my-m-2=0 恒过定点
∴x-2=y-1=0，
∴直线l₂恒过（2，1）点，
故直线l₁，l₂的与圆C的另一个交点P₁（0，0），P₂（2，1），
∵P₁P₂是圆C的直径，
当且仅当圆心C（1，

1

2

）到l₁的距离等于C到l₂的距离时，△MP₁P₂面积取得最大值，
所以

|m- 1 2 |

m2+1

=

| 1 2 m+1|

m2+1

，
解得：m=3或m=-

1

3

，
所以直线l₁：3x-y=0或x+3y=0．

点评：本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解，曲线轨迹方程的求法，三角形的面积的最值的判断，考查计算能力，转化思想的应用．