Question

17．已知一个递增的等差数列{a_n}的前三项的和为-3，前三项的积为8．数列$\{\frac{b_n}{a_n}\}$的前n项和为${S_n}={2^{n+1}}-2$．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列$\{\frac{b_n}{a_n}\}$的通项公式．
（3）是否存在一个等差数列{c_n}，使得等式${b_n}={c_{n+1}}•{2^{n+1}}-{c_n}•{2^n}$对所有的正整数n都成立．若存在，求出所有满足条件的等差数列{c_n}的通项公式，并求数列{b_n}的前n项和T_n；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）一个递增的等差数列{a_n}的前三项的和为-3，前三项的积为8．设此三项分别为：a-d，a，a+d，d＞0．可得：a-d+a+a+d=-3，（a-d）a（a+d）=8，联立解得a，d，即可得出a_n．
（2）数列$\{\frac{b_n}{a_n}\}$的前n项和为${S_n}={2^{n+1}}-2$．n≥2时，$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=S_n-S_n-1．n=1时，$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$=2²-2，可得$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$．
（3）由（1）（2）可得：b_n=（3n-4）•2ⁿ．假设存在一个等差数列{c_n}，使得等式${b_n}={c_{n+1}}•{2^{n+1}}-{c_n}•{2^n}$对所有的正整数n都成立．可得（3n-4）•2ⁿ=${c}_{n+1}•{2}^{n+1}$-${c}_{n}•{2}^{n}$，令c_n=pn+q（p，q为常数）．代入即可得出．

解答 解：（1）一个递增的等差数列{a_n}的前三项的和为-3，前三项的积为8．
设此三项分别为：a-d，a，a+d，d＞0．
可得：a-d+a+a+d=-3，（a-d）a（a+d）=8，
解得a=-1，d=3．
∴a_n=-1+3（n-1）=3n-4．
（2）数列$\{\frac{b_n}{a_n}\}$的前n项和为${S_n}={2^{n+1}}-2$．
n≥2时，$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ．
n=1时，$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$=2²-2=2，对于上式也成立．
∴$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=2ⁿ．
（3）由（1）（2）可得：b_n=（3n-4）•2ⁿ．
假设存在一个等差数列{c_n}，使得等式${b_n}={c_{n+1}}•{2^{n+1}}-{c_n}•{2^n}$对所有的正整数n都成立．
则（3n-4）•2ⁿ=${c}_{n+1}•{2}^{n+1}$-${c}_{n}•{2}^{n}$，
可得：2c_n+1-c_n=3n-4，
令c_n=pn+q（p，q为常数）．
∴2[p（n+1）+q]-（pn+q）=3n-4，
化为：pn+2p+q=3n-4，
可得$\left\{\begin{array}{l}{p=3}\\{2p+q=-4}\end{array}\right.$，解得p=3，q=-10．
∴c_n=3n-10．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．