Question

10．定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f^-1（x），若g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-1，x≤0}\\{f（x），x＞0}\end{array}\right.$为奇函数，则f^-1（x）=2的解为$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 由奇函数的定义，当x＞0时，-x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．

解答 解：若g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-1，x≤0}\\{f（x），x＞0}\end{array}\right.$为奇函数，
可得当x＞0时，-x＜0，即有g（-x）=3^-x-1，
由g（x）为奇函数，可得g（-x）=-g（x），
则g（x）=f（x）=1-3^-x，x＞0，
由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f^-1（x），
且f^-1（x）=2，
可由f（2）=1-3^-2=$\frac{8}{9}$，
可得f^-1（x）=2的解为x=$\frac{8}{9}$．
故答案为：$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．