Question

【题目】某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）.若第 1 年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的 50％.现用()表示A型车床在第n年创造的价值.

（1）求数列的通项公式；

（2）记为数列的前n项的和，企业经过成本核算，若 万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床，试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列是单调递减数列，则数列也是单调递减数列）.

Answer 1

【答案】(1) ();(2)12

【解析】

(1)由题意可得:第1年至第6年时为递减等差数列,易求;从第7年开始为以为首项,公比的等比数列,则可求得;

(2)由(1)知数列是单调递减数列,则也是单调递减数列,当时,易求100万元;当时，通过计算判断万元,万元,则可得第12年年初更换车床.

(1)由题意可得在第1年至第6年时数列为以为首项,公差的等差数列,所以可得在第7年开始数列是以为首项,公比的等比数列，则可求得,

综上可得数列的通项公式 ();

(2)由(1)知数列是单调递减数列,则由题意得新数列即也是单调递减数列,当时,（万元）,所以前六年不用更换车床;

当时,

由（万元）,（万元）,且是单调递减数列,可得当时,（万元）恒成立,所以该企业必须在第12年年初更换车床.