Question

【题目】如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若和梯形的面积都等于，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（I）见证明；（II）

【解析】

（Ⅰ）取的中点为，连结，可证明四边形为平行四边形，得，由等腰三角形的性质得，可得，由面面垂直的性质可得平面，从而可得结果；（Ⅱ）由三棱台的底面是正三角形，且，可得，由此，.根据面积相等求得棱锥的高，利用棱锥的体积公式可得结果.

（Ⅰ）取的中点为，连结.

由是三棱台得，平面平面，∴.

∵，

∴，

∴四边形为平行四边形，∴.

∵，为的中点，

∴，∴.

∵平面平面，且交线为，平面，

∴平面，而平面，

∴.

（Ⅱ）∵三棱台的底面是正三角形，且，

∴，∴，

∴.

由（Ⅰ）知，平面.

∵正的面积等于，∴，.

∵直角梯形的面积等于，

∴，∴，

∴.