Question

【题目】已知点为双曲线: 的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线C于点，且

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线与双曲线C恒有两个不同交点P和Q且 （其中O为原点），求k的取值范围;

（3）过双曲线C上任意一点R作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为M,N，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）或；

（3）；

【解析】

（1）结合双曲线的定义以及题中的直角三角形，可以得到等量关系，从而求得，进而得到，求得双曲线的方程；

（2）设点，，将直线方程和双曲线方程联立，消元化简整理，利用判别式大于零，结合题中的条件，求得的取值范围；

（3）先写出双曲线的渐近线方程，设双曲线上的点，设两渐近线的夹角为，利用题意求得，又因为点在双曲线上，点的坐标满足双曲线的方程，从而求得的值.

（1）结合双曲线的定义以及直角三角形的特征

由已知得，

故双曲线的方程为：

（2）设点，，

联立方程，得，

因为，且解得，，且，

因为，所以故，

解不等式得或

综上得，或；

（3）由条件可知：两条渐近线分别为，

设双曲线上的点，

设两渐近线的夹角为，

因为 ，

所以，且，

，

又因为 ，

所以.