Question

【题目】已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.

（1）求椭圆C的方程

（2）椭圆C上是否存在不同的两点M,N关于直线对称？若存在，请求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由.

（3）设直线l不经过点且与C相交于A,B两点，若直线与直线的斜率之和为1，求证直线l必过定点，并求出这个定点坐标.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，（3）证明见解析，

【解析】

（1）根据对称性得到在椭圆上，故不在椭圆上，代入数据计算得到答案.

（2）假设存在，设 ，代入椭圆相减得到，再根据计算得到答案.

（3）设，利用韦达定理得到，根据斜率之和为1得到，得到过定点

（1）根据对称性知在椭圆上，故不在椭圆上.

代入得到，代入得到

故椭圆方程为：

（2）存在；假设存在，设 ，代入椭圆相减得到：

设中点为 ，则

在直线上，得到，解得

故方程为

（3）设，联立方程得到 故

故

故直线方程为过定点.