Question

【题目】已知椭圆的左．右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形的边长为 的正方形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若,分别是椭圆长轴的左,右端点,动点满足,连结,交椭圆于点．证明: 的定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,试问轴上是否存在异于点,的定点,使得以为直径的圆恒过直线,的交点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ) 存在,使得以为直径的圆恒过直线,的交点.

【解析】

试题（I）由于四边形为正方形，所以，由此求得椭圆方程为.（II）设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，求出点坐标，代入可求得值为.（III）设出点的坐标，利用圆的直径所对圆周角为直角的几何性质得到，结合（II）将的坐标代入上式，可求得.

试题解析：(Ⅰ)由题意得,

,

所以所求的椭圆方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,

由题意可设,．

因为

所以

由整理得:

因为

所以，

所以

(Ⅲ)设,则．

若以为直径的圆恒过,的交点,则,

所以恒成立

由(Ⅱ)可知,

．

所以．

即恒成立．

所以．

所以存在,使得以为直径的圆恒过直线,的交点．