Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），F₁，F₂为双曲线的左右焦点，若在双曲线的右焦点上存在一点P，使得|PF₁|=3|PF₂|，则双曲线的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P点的横坐标为x，根据|PF₁|=3|PF₂|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．

解答： 解：设P点的横坐标为x
∵|PF₁|=3|PF₂|，P在双曲线右支（x≥a）
根据双曲线的第二定义，可得3e（x-

a2

c

）=e（x+

a2

c

）
∴ex=2a
∵x≥a，∴ex≥ea
∴2a≥ea，∴e≤2
∵e＞1，∴1＜e≤2
故答案为：1＜e≤2．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于基础题．