Question

设函数，是定义域为R上的奇函数．
（1）求的值，并证明当时，函数是R上的增函数；
（2）已知，函数，，求的值域；
（3）若，试问是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如下（2）（3）存在正整数=3或4

试题分析：解：（1）是定义域为R上的奇函数，，得．
此时，，，即是R上的奇函数．
设，则，
，，，在R上为增函数．
（2），即，或（舍去），
 
令，由（1）知在[1，2]上为增函数，∴，
，
当时，有最大值；当时，有最小值，
∴的值域．
（3）=，，
假设存在满足条件的正整数，则，
①当时，．
②当时，，则，令，则，易证在上是增函数，∴．
③当时，，则，令，则，易证在上是减函数，∴．
综上所述，，∵是正整数，∴=3或4．
∴存在正整数=3或4，使得对恒成立．
点评：本题难度较大。函数的单调性对求最值、判断函数值大小关系和证明不等式都有较大帮助，而求函数的单调性有时可以结合导数来求。