Question

若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数)．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）当时，取极小值，其极小值为．
（Ⅱ）函数和存在唯一的隔离直线．

试题分析：（Ⅰ） ，
．                      2分
当时，．
当时，，此时函数递减；            3分
当时，，此时函数递增；          4分
∴当时，取极小值，其极小值为．            5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点． 可设隔离直线的斜率为，则直线方程为：，即．                                
由 ，可得，当时恒成立．
，     由，得．             6分
下面证明 ，当时恒成立．
令，则
，
当时，．                 8分
当时，，此时函数递增；
当时，，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为．             10分
从而 ，即 恒成立．
∴函数和存在唯一的隔离直线．            12分
点评：中档题，曲线切线的斜率，等于函数在切点的导函数值。本题涉及“新定义”及存在性探究问题，在理解“新定义”的基础上，将存在性问题的探究，转化成函数不等式恒成立问题，从而通过构造函数、研究函数的单调性、明确函数的极值，达到解题目的。