Question

已知函数
(1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围.
(2)当时,比较与1的大小.
(3)求证:

Answer 1

（1）
（2）①当时，，即；
②当时，，即；
③当时，，即
（3）利用（2）的结论或数学归纳法证明

试题分析：（1）当时，，定义域是，     1分
，
令，得或．       2分
当或时，，当时，，
函数在、上单调递增，在上单调递减．     4分
的极大值是，极小值是．
当时，；当时，，
当仅有一个零点时，或．
∴的取值范围是       5分
（2）当时，，定义域为．
令，
，
在上是增函数．        7分
∵
∴①当时，，即；
②当时，，即；
③当时，，即．     9分
（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有，  
．     12分
，．      14分
(法二)①当时，．
，，即时命题成立．      10分
②假设时，命题成立，即．
则当时，
．
根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有，
则有，即时命题也成立．   13分
因此，由①②知不等式成立．         14分
点评：导数是研究函数性质的有力工具，要灵活运用解决问题，利用数学归纳法证明不等式时要注意放缩不等式的应用.