Question

已知函数，，
（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；
（Ⅱ）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的，证明：当时， .

Answer 1

（Ⅰ）a=， y－e= (x－e²)(II) （Ⅲ）利用函数的单调性证明

试题分析：（Ⅰ）=,=(x>0),
由已知得 解得a=，x=e²,
∴两条曲线交点的坐标为(e²,e) 切线的斜率为k=f’(e²)=
∴切线的方程为 y－e= (x－e²)
(II)由条件知h(x)=–aln x(x＞0),
（i）当a>0时，令解得，
∴当0 << 时，，在（0，）上递减；
当x>时，，在上递增.
∴是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.
∴最小值
（ii）当时，在（0，+∞）上递增，无最小值。
故的最小值的解析式为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
则，令解得.
当时，，∴在上递增；
当时，，∴在上递减.
∴在处取得最大值
∵在上有且只有一个极值点，所以也是的最大值.
∴当时，总有
点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点