Question

分类讨论，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）在区间[m，n]上的最值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a＞0时，二次函数开口向上，分对称轴在闭区间的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得函数的最值．
（2）当a＜0时，二次函数开口向下，分对称轴在闭区间的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得函数的最值．

解答： 解：（1）当a＞0时，二次函数开口向上，①若-

b

2a

＜m，二次函数在区间[m，n]上单调递增，
故 f_min（x）=f（m），f_max（x）=f（n）．
②若m≤-

b

2a

≤n，二次函数开口向上，且对称轴在区间[m，n]上，f_min（x）=f（-

b

2a

）=

4ac-b2

4a

，
 f_max（x）=max{f（m），f（n）}．
③若-

b

2a

≥n，二次函数在区间[m，n]上单调递减，f_min（x）=f（n），f_max（x）=f（m）．
（2）当a＜0时，二次函数开口向下，①若-

b

2a

＜m，二次函数在区间[m，n]上单调递减，
f_min（x）=f（n），f_max（x）=f（m）．
②若m≤-

b

2a

≤n，二次函数开口向上，且对称轴在区间[m，n]上，f_max（x）=f（-

b

2a

）=

4ac-b2

4a

，
f_min（x）=max{f（m），f（n）}．
③若-

b

2a

≥n，二次函数在区间[m，n]上单调递增，f_min（x）=f（m），f_max（x）=f（n）．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．