Question

已知向量

a

=（cos α，sin α），

b

=（cos β，sin β），

c

=（1，2）且

a

•

b

=

2

2

，
（1）求cos（α-β）；
（2）若

a

∥

c

，且0＜β＜α＜

π

2

，求cosβ．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接结合向量的坐标运算求解即可；
（2）首先，根据向量共线条件，得到2cosα-sinα=0，然后，根据这个条件，求解cosα=

5

5

，sinα=

2 5

5

，最后，利用角的灵活拆分，求解cosβ．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（cos α，sin α），

b

=（cos β，sin β），且

a

•

b

=

2

2

，
∴（cos α，sin α）•（cos β，sin β）=

2

2

，
化简，得
cos（α-β）=

2

2

，
∴cos（α-β）的值为

2

2

；
（2）∵

a

∥

c

，

a

=（cos α，sin α），

c

=（1，2）
∴2cosα-sinα=0，
∵0＜β＜α＜

π

2

，
∴cosα=

5

5

，sinα=

2 5

5

，
sin（α-β）=

2

2

，
∵cosβ=cos[α-（α-β）]
=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=

5

5

•

2

2

+

2 5

5

•

2

2

=

3 10

10

．
∴cosβ=

3 10

10

．

点评：本题重点考查了三角恒等变换公式、两角差的余弦公式、三角函数等知识，考查公式比较密集，需要准确理解和把握公式及其运用技巧．