Question

9．若函数f（x）=e^x-1+2x-log${\;}_{\sqrt{2}}$a^x（a＞0）在区间（0，2）内有两个零点，则a的取值范围为（　　）

• A． （$\sqrt{2}$，${2}^{\frac{e}{2}}$）
• B． （0，2]
• C． （2，2${\;}^{\frac{e+2}{2}}$]
• D． （2${\;}^{\frac{3}{2}}$，2${\;}^{\frac{e+4}{4}}$）

Answer 1

分析 分离常数，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决．

解答 解：∵f（x）=e^x-1+2x-log${\;}_{\sqrt{2}}$a^x=0，
∴log₂a=$\frac{{e}^{x-1}}{2x}$+1在（0，2）内有两解，
令y=$\frac{{e}^{x-1}}{2x}$+1，
则y′=$\frac{{e}^{x-1}（x-1）}{2{x}^{2}}$，
∴y在（0，1）为减函数，在（1，2）上为增函数，
∴当x=1时，取得最小值，y=$\frac{3}{2}$，
当x→0时，y→+∞，
当x=2时，y=$\frac{e+4}{4}$，
∴$\frac{3}{2}$＜log₂a＜$\frac{e+4}{4}$，
∴${2}^{\frac{3}{2}}$＜a＜${2}^{\frac{e+4}{4}}$，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是利用导函数判断函数单调性时，函数零点存在定义，利用导数求出最值是关键，属于中档题．