题目内容
5．设椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C1交于M，N两点．（I）是否存在直线l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）若AB是椭圆C1经过原点O的弦，且MN∥AB，求证：$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$为定值．
分析 （Ⅰ）由题意设存在直线l为y=k（x-1），（k≠0），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，由此利用韦达定理、向量的数量积公式能求出直线l的方程．
（Ⅱ）利用弦长公式求出|MN|，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，消去y，并整理得：${x}^{2}=\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，从而求出|AB|，由此能证明$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$为定值．
解答 解：（Ⅰ）由题可知，直线l与椭圆必相交．
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
②当直线斜率存在时，设存在直线l为y=k（x-1），（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1y2=${x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}[{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1]$
=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+k2（$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+1$）
=$\frac{-5{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=-2．
解得k=$±\sqrt{2}$，
故直线l的方程为y=$\sqrt{2}$（x-1）或y=-$\sqrt{2}$（x-1）．…（8分）
证明：（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），
由（Ⅰ）得：|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-x2|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4（\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}）]}$=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，消去y，并整理得：${x}^{2}=\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•|{x}_{3}-{x}_{4}|$=4$\sqrt{\frac{3（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$，
∴$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$=$\frac{\frac{48（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}{\frac{12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}}$=4为定值…（15分）
点评 本题考查直线方程的求法，考查比值为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用．
全能测控期末小状元系列答案| A． | （$\sqrt{2}$，${2}^{\frac{e}{2}}$） | B． | （0，2] | C． | （2，2${\;}^{\frac{e+2}{2}}$] | D． | （2${\;}^{\frac{3}{2}}$，2${\;}^{\frac{e+4}{4}}$） |
| A． | ±$\frac{3}{2}$ | B． | -$\frac{3}{2}$ | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | 6 |
如图，以${{F}_1}（{-\sqrt{3}，0}）$、${{F}_2}（{\sqrt{3}，0}）$为焦点的椭圆C与以原点O为圆心，F1F2为直径的圆在第一象限的交点的纵坐标为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．