Question

20．已知函数$f（x）=\frac{|x|}{e^x}$，g（x）=-4^x+m•2^x+1+m²+2m-1，若M={x|f（g（x））＞e}=R，则实数m的取值范围是[-2，0]．

Answer 1

分析 根据函数单调性的性质将不等式进行转化不等式恒成立问题，构造函数，利用换元法转化为一元二次函数恒成立进行求解即可．

解答 解：对于函数$f（x）=\frac{|x|}{e^x}$，
当x≥0时，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，∵f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，在[0，1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在（1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，且f（x）＞0．
当x＜0时，f（x）=-$\frac{x}{{e}^{x}}$，∵f′（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$＜0，故函数f（x）在（-∞，0）上为减函数．
故函数f（x）的增区间为[0，1]，减区间为（-∞，0）、（1，+∞）．
故函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=$\frac{1}{e}$＜e，由于f（-1）=e，
故当x＞-1时，f（x）＜e，
故f（x）的单调性示意图，如图所示：
∴不等式f（g（x））＞e，即为f（g（x））＞f（-1），即g（x）＜-1．
M={x|f（g（x））＞e}=R，等价于 g（x）＜-1恒成立，
即-4^x+m•2^x+1+m²+2m-1＜-1恒成立，即-4^x+m•2^x+1+m²+2m＜0恒成立．
设t=2^x，则t＞0，则不等式等价为-t²+2mt+m²+2m＜0恒成立，
即t²-2mt-m²-2m＞0，在（0，+∞）上恒成立，设h（t）=t²-2mt-m²-2m，
故有①$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-2m}{2}≤0}\\{h（0）={-m}^{2}-2m≥0}\end{array}\right.$，或②$\left\{\begin{array}{l}{△={4m}^{2}+4{（m}^{2}+2m）＜0}\\{-\frac{-2m}{2}＞0}\end{array}\right.$．
解①可得 $\left\{\begin{array}{l}{m≤0}\\{-2≤m≤0}\end{array}\right.$，即-2≤m≤0；
解②可得 $\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，即m无解．
综上可得，-2≤m≤0，
故答案为：[-2，0]．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数单调性进行转化，利用换元法，构造法转化为一元二次函数问题是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．