Question

2．已知菱形ABCD如图（1）所示，其中∠ACD=60°，AB=2，AC与BD相交于点O，现沿AC进行翻折，使得平面ACD⊥平面ABC，取点E，连接AE，BE，CE，DE，使得线段BE再平面ABC内的投影落在线段OB上，得到的图形如图（2）所示，其中∠OBE=60°，BE=2．
（Ⅰ）证明：DE⊥AC；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出DO⊥AC，从而DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC于F，由题意点F落在BO上，且∠EBF=∠OBE=60°，推导出DO∥EF，从而四边形DEFO是矩形，进而DE∥OF，由OF⊥AC，能证明DE⊥AC．
（Ⅱ）多面体ABCDE的体积V_ABCDE=2V_A-BODE，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）由图（1）知△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，
∴DO⊥AC，
又平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，
∴DO⊥平面ABC，
作EF⊥平面ABC于F，由题意点F落在BO上，
且∠EBF=∠OBE=60°，
在Rt△BEF中，EF=BE•sin∠EBF=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△DOC中，DO=DC•sin∠DCO=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∵DO⊥平面ABC，EF⊥平面ABC，∴DO∥EF，
又DO=EF，∴四边形DEFO是矩形，∴DE∥OF，
∵OF⊥AC，∴DE⊥AC．
解：（Ⅱ）依题意由（Ⅰ）可知：
多面体ABCDE的体积V_ABCDE=2V_A-BODE=$2×\frac{1}{3}×\frac{（\sqrt{3}-1+\sqrt{3}）×\sqrt{3}}{2}×1$=2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查多面体体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．