Question

已知函数f（x）是定义域为R的单调减函数．
（Ⅰ）比较f（a²+1）与f（2a）的大小；
（Ⅱ）若f（a²）＞f（a+6），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由（a-1）²≥0可得a²+1≥2a，结合函数f（x）是定义域为R的单调减函数，可得：f（a²+1）≤f（2a）；
（Ⅱ）∵函数f（x）是定义域为R的单调减函数，f（a²）＞f（a+6），可得：a²＜a+6，解不等式可得实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵a²+1-2a=（a-1）²≥0，
∴a²+1≥2a，
又∵函数f（x）是定义域为R的单调减函数．
∴f（a²+1）≤f（2a）；
（Ⅱ）∵函数f（x）是定义域为R的单调减函数，f（a²）＞f（a+6），
∴a²＜a+6，
解得a∈（-2，3）．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，解二次不等式，是函数和不等式的简单综合应用，难度不大，属于基础题．