Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设AP=AB=1，AD=

3

，求点P到平面AEC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结BD交AC与点O，连结EO，OE为△PBD的中位线，由此能证明PB∥平面AEC．
（2）由已知P到平面AEC与B到平面AEC的距离相等，从而V_P-AEC=V_B-AEC=V_E-ABC，由此能求出P到平面AEC的距离．

解答： （1）证明：连结BD交AC与点O，连结EO，
∵底面ABCD为矩形，∴O为BD的中点
又∵E为PD的中点∴OE为△PBD的中位线，
则OE∥PB，…（4分）
又OE?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．…（6分）
（2）解：∵PB∥平面AEC，
∴P到平面AEC与B到平面AEC的距离相等，
∴V_P-AEC=V_B-AEC=V_E-ABC，…（8分）
又S_△ABC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，且E到平面ABC的距离为

1

2

PA=

1

2

，
AC=2，EC=

2

，AE=1，∴S_△AEC=

7

4

…（10分）
设P到平面AEC的距离为h，
则

1

3

×

7

4

×h=

1

3

×

3

2

×

1

2

，解得h=

21

7

∴P到平面AEC的距离为

21

7

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．