Question

平面内与两定点A（-a，0），B（a，0）（a＞0）的连线的斜率之积等于-

1

a2

的点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）点S是直线x=a上的点，且S在x轴上方，连结AS交曲线C于点T，点M是以SB为直径的圆与线段BT的交点，试问：是否存在实数a，使得O、M、S三点共线？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设P（x，y），由已知得k_PA•k_PB=

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

=-

1

a2

，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）由已知点M在直线OS上，OS⊥BT，设S（a，t），AS：y=

t

2a

(x+a)，联立

y= t 2a (x+a) x2+a2y2=a2

，得T（

4-t2

t2+4

a，

4t

t2+4

），
由此能求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）设P（x，y），∵A（-a，0），B（a，0）（a＞0），
∴k_PA•k_PB=

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

=-

1

a2

，
整理，得曲线C的方程为

x2

a2

+y2=1．
（Ⅱ）∵O、M、S三点共线，∴点M在直线OS上，
∴SM⊥BM，∴OS⊥BT，
设S（a，t），AS：y=

t

2a

(x+a)，
联立

y= t 2a (x+a) x2+a2y2=a2

，得（t²+4）x²+2at²x+a²t²-4a²=0，
∴-a+x_T=-

2at2

t2+4

，∴T（

4-t2

t2+4

a，

4t

t2+4

），
∴k_OS•k_BT=

t

a

•

4t t2+4

( 4-t2 t2+4 -1)a

=-1，
解得a=

2

或a=-

2

（舍）．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．