Question

13．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，直线l过点（-1，0）交椭圆E于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意得b=1，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=1+{c}^{2}}\end{array}\right.$得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，b=1求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程为x=my-1，将直线方程代入椭圆方程，消去x，根据韦达定理代入三角形面积公式即可求得△AOB的面积，再换元配方即可得出结论．

解答 解：（1）由题意得b=1，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=1+{c}^{2}}\end{array}\right.$得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）依题意设直线l的方程为x=my-1，
联立椭圆方程，得（m²+3）y²-2my-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{2}{{m}^{2}+3}$，
S_△AOB=$\frac{1}{2}×1×$|y₁-y₂|=$\sqrt{\frac{3{m}^{2}+6}{（{m}^{2}+3）^{3}}}$，
设m²+3=t（t≥3），则S_△AOB=$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，
∵t≥3，∴0＜$\frac{1}{t}$≤$\frac{1}{3}$，
∴当$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{3}$，即t=3时，△OAB面积取得最大值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，此时m=0．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系、三角形面积的计算，考查计算能力，属于中档题．