Question

2．已知函数f（x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求满足不等式f（x）＜0的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）只需解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$即可得出f（x）的定义域；
（2）求f（-x）即可得到f（-x）=-f（x），从而得出f（x）为奇函数；
（3）讨论a：a＞1，和0＜a＜1，根据f（x）的定义域及对数函数的单调性即可求得每种情况下原不等式的解．

解答 解：（1）解$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$得，-1＜x＜1；
∴f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）f（-x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=-f（x）；
∴f（x）为奇函数；
（3）由f（x）＜0得，log_a（1-x）＜log_a（1+x）；
①若a＞1，则：
$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{1-x＜1+x}\end{array}\right.$；
∴0＜x＜1；
即f（x）＜0的x的取值范围为（0，1）；
②若0＜a＜1，则：
$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{1-x＞1+x}\end{array}\right.$；
∴-1＜x＜0；
即f（x）＜0的x的取值范围为（-1，0）．

点评 本题考查函数定义域的概念及求法，奇函数的定义及判断函数奇偶性的方法，对数函数的单调性．