Question

随着我国加入WTO，某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万元）

	年固定成品	每件产品成本	每件产品销售价	每件可最多生产件数
甲产品	20	a	10	200
乙产品	40	8	18	120

其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且3≤a≤8．另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x²万美元的特别关税．
（Ⅰ）写出该厂分别投资生产甲、乙两产品的年利润y₁，y₂与生产相应产品的件数x（x∈N）之间的函数关系；
（Ⅱ）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；
（Ⅲ）如何决定投资可获最大年利润．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：（I）由年销售量为x件，按利润的计算公式，y₁=10×x-（20+ax）=（10-a）x-20，0≤x≤200且x∈N，y₂=18×x-（40+8x）-0.05x²，0≤x≤120，x∈N；化简；
（II）由函数的单调性及二次函数的性质求函数的最大值；
（III）问题即研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较即可．

解答： 解：（I）由年销售量为x件，按利润的计算公式，
有生产甲、乙两产品的年利润y₁，y₂分别为：
y₁=10×x-（20+ax）=（10-a）x-20，0≤x≤200且x∈N．
y₂=18×x-（40+8x）-0.05x²=-0.05x²+10x-40
=-0.05（x-100）²+460，0≤x≤120，x∈N．
（II）∵3≤a≤8，∴10-a＞0，
∴y₁=（10-a）x-20为增函数，
又∵0≤x≤200，x∈N，
∴x=200时，生产甲产品的最大年利润为（10-a）×200-20=1980-200a（万美元）．
又y₂=-0.05（x-100）²+460，且0≤x≤120，x∈N．
∴x=100时，生产乙产品的最大年利润为460（万美元）．
（III）（y₁）_max-（y₂）_max=（1980-200a）-460=1520-200a

＞0，3≤a＜7.6 =0，a=7.6 ＜0，7.6＜a≤8

所以：当3≤a＜7.6时，投资生产甲产品200件可获最大年利润．
当a=7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；
当7.6＜a≤8时，投资生产乙产品100件可获最大年利润．

点评：本题考查了分段函数在实际问题中的应用，属于中档题．