Question

已知函数f(x)＝e^x(ax＋b)－x²－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

Answer 1

[解析]　(1)f ′(x)＝e^x(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知得f(0)＝4，f ′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.

从而a＝4，b＝4.

(2)由(1)知，f(x)＝4e^x(x＋1)－x²－4x，

f ′(x)＝4e^x(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(e^x－)．

令f ′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x)>0；

当x∈(－2，－ln2)时，f ′(x)<0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，

在(－2，－ln2)上单调递减．

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，

极大值为f(－2)＝4(1－e^－2)．