Question

设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f ′(x)．

(1)求g(x)的单调区间和最小值；

(2)讨论g(x)与g()的大小关系；

(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．

Answer 1

[解析]　(1)g′(x)＝，由g′(x)>0，得g(x)的单调增区间为(1，＋∞)；由g′(x)<0，得g(x)的单调减区间为(0,1)．因此x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以g(x)_min＝g(1)＝1.

(2)设h(x)＝g(x)－g()，则h′(x)＝－，

h′(x)≤0，∴h(x)在(0，＋∞)上为减函数．

当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()；

当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，即g(x)>g()；

当x>1时，h(x)<h(1)＝0，即g(x)<g()．

(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)－g(x)<，对任意x>0成立⇔由g(a)－1<，得0<a<e.