Question

在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=

3

，AB=2BC=2，AC⊥FB． 
（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）求该几何体的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用勾股定理的逆定理即可得到AC⊥CB，又AC⊥FB，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用分割法，即可求该几何体的体积．

解答： （Ⅰ）证明：在△ABC中，
∵AC=

3

，AB=2，BC=1，
∴AC²+BC²=AB²．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，
∴AC⊥平面FBC．
（ II）解：过D作DM⊥AB于M，过C作CN⊥AB于N
于是：V=V_E-AMD+V_EDM-FCN+V_F-CNB=2V_E-AMD+V_EDM-FCN
∵AC=

3

，AB=2BC=2，
∴ED=CD=1，DM=

3

2

，
∴VE-AMD=

1

3

×SAMD×ED=

1

3

×

3

8

×1=

3

24

VEDM-FCN=SEDM×CD=

3

4

×1=

3

4

∴V=2×

3

24

+

3

4

=

3

3

点评：熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、等腰梯形的性质、三棱锥的体积公式是解题的关键．