Question

曲线C₁，C₂都是以原点O为对称中心，坐标轴为对称轴、离心率相等的椭圆，点M的坐标是（0，1），线段MN是曲线C₁的短轴，并且是曲线C₂的长轴，直线l：y=m（0＜m＜1）与曲线C₁交于A，D两点（A在D的左侧），与曲线C₂交于B，C两点（B在C的左侧）．
（1）当m=

3

2

，|AC|=

5

4

时，求椭圆C₁，C₂的方程；
（2）当OC⊥AN，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设C₁的方程为

x2

a2

+y2=1，C₂的方程为

x2

b2

+y2=1，由C₁，C₂的离心率相同，可建立关于a，b的方程，结合|AC|=

5

4

，建立关系式求出a、b之值，进而可得椭圆C₁，C₂的方程；
（2）先求出A，C的坐标，利用OC⊥AN，可得（

1

a

1-m2

，m）•（A

1-m2

，-1-m）=0，即可求m的值．

解答： 解：（1）设C₁的方程为

x2

a2

+y2=1，C₂的方程为

x2

b2

+y2=1，其中a＞1，0＜b＜1
∵C₁，C₂的离心率相同，∴

a2-1

a2

=1-b²，解之得ab=1，
∴C₂的方程为a²x²+y²=1．
当m=

3

2

时，A（-

1

2

a，

3

2

），C（

1

2a

，

3

2

）
又∵|AC|=

5

4

，∴

1

2a

-（-

1

2

a）=

5

4

，
解之得a=

1

2

（不符合题意，舍去）或a=2，从而得到b=

1

a

=

1

2

∴C₁、C₂的方程分别为

x2

4

+y2=1、4x²+y²=1．
（2）y=m代入C₁的方程

x2

a2

+y2=1，可得x_A=-a

1-m2

，
代入方程

x2

b2

+y2=1，可得x_C=b

1-m2

，
∵ab=1，
∴A（-a

1-m2

，m），C（

1

a

1-m2

，m）
∵线段MN是曲线C₁的短轴，∴N（0，-1），
∵OC⊥AN，
∴（

1

a

1-m2

，m）•（A

1-m2

，-1-m）=0
∴2m²+m-1=0，
∵0＜m＜1，
∴m=

1

2

．

点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程，及椭圆性质的综合应用等知识，属于中档题．解答本题要求考生具备综合运用数字知识的能力．