Question

已知a，b，c都是实数，证明ac＜0是关于x的方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用

分析：利用韦达定理和根与系数的关系先判断出前者成立能推出后者成立，反之后者成立能推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论．

解答： 解：证明：若ac＜0成立，则关于x的方程ax²+bx+c=0的判别式△=b²-4ac＞0，且两根之积

c

a

＜0，
故关于x的方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根成立，即充分性成立．
反之，若关于x的方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根成立，则两根之积

c

a

＜0，
∴ac＜0成立，即必要性成立．
综上可得，ac＜0是关于x的方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程的根与系数的关系，本题解题的关键是正确应用根与系数的关系来说明根的情况，属于基础题．