题目内容

我国1993年至2002年的国内生产总值（GDP）的数据如下：
年份GDP/亿元
199334634.4
199446759.4
199558478.1
199667884.6
199774462.6
199878345.2
199982067.5
200089468.1
200197314.8
2002104790.6
（1）作GDP和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系是什么．
（2）建立年份为解释变量，GDP为预报变量的回归模型，并计算残差．
（3）根据你得到的模型，预报2003年的GDP，看看你的预报与实际GDP（117251.9亿元）．
（4）你认为这个模型能较好的刻画GDP和年份关系吗？请说明理由．
考点：回归分析的初步应用
专题：应用题,概率与统计
分析：（1）根据所给数据，可得散点图，从散点图可以看出GDP值与年份呈线性关系；
（2）根据截距和斜率的最小二乘计算公式可得回归模型，并计算残差．
（3）预报2003年的GDP为112976.360亿元，根据国家统计局2004年统计，2003年实际GDP为117251.9亿元，所以预报与实际相差-4275.540．
（4）上面建立的回归方程的R2=0.974，说明年份能够解释约97%的GDP值变化，可得结论．
解答： 解：（1）散点图如下：

从散点图可以看出GDP值与年份呈线性关系；
（2）根据截距和斜率的最小二乘计算公式可得a≈-14292537.729，b≈7191.969，
∴y=7191.969t-14292537.729，
残差计算如下表：
 年份 1993 1994 1995 19961997 
 残差-6422.269-1489.238 3037.493 5252.024 4638.055
 年份 1998 1999 2000 20012002 
 残差 1328.685-2140.984-1932.353-1277.622-993.791
（3）预报2003年的GDP为112976.360亿元，根据国家统计局2004年统计，2003年实际GDP为117251.9亿元，所以预报与实际相差-4275.540．
（4）上面建立的回归方程的R2=0.974，说明年份能够解释约97%的GDP值变化，因此所建立的模型能较好的刻画GDP和年份关系．
点评：本题考查回归方程，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=（1-m）lnx+
m
2
x2-nx（m≠0）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（1）求n的值；
（2）若存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜1-
1
m
成立，求实数m的取值范围．
设f（x）=
(x+a)lnx
x+1
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，求a的值．
已知点O是△ABC内一点，且
OA
=λ
OB
+μ
OC
，若△ABC与△OBC的面积之比为3：1，则λ+μ=
 
．
已知数列{an}满足an+1=
an
man+1
，且a1=4．
（1）当m=1时，证明{
1
an
}是等差数列；
（2）当m=2n时，求数列{an}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，记bn=
anan+1
，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜2．
曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为（　　）
A、x+3y-3=0
B、3x-y+1=0
C、3x+y-1=0
D、x-3y+3=0
已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+1=3an-2an-1（n∈N*，n≥2）
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（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=2log4（an+1）2，证明：对一切正整数n，有
1
b
2
1
-1
+
1
b
2
2
-1
+…+
1
b
2
n
-1
＜
1
2
．
已知函数f（x）=2
3
sinωxcosωx+cos2ωx-sin2ωx，其中ω＞0，x∈R，若函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，若f（B）=-2，BC=
3
，sinB=
3
sinA，求
BA
•
BC
的值．
函数y=-x2+2
4-x2
的值域是
 
．

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