Question

5．已知sinα=3sin（α+$\frac{π}{6}$），则tan（α+$\frac{π}{12}$）=2$\sqrt{3}$-4．

Answer 1

分析 利用角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan$\frac{π}{12}$的值，可得tan（α+$\frac{π}{12}$）的值．

解答 解：∵sinα=3sin（α+$\frac{π}{6}$）=3sinα•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+3cosα•$\frac{1}{2}$，∴tanα=$\frac{3}{2-3\sqrt{3}}$，
∴tan$\frac{π}{12}$=tan（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan\frac{π}{3}-tan\frac{π}{4}}{1+tan\frac{π}{3}•tan\frac{π}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$，
∴tan（α+$\frac{π}{12}$）=$\frac{tanα+tan\frac{π}{12}}{1-tanα•tan\frac{π}{12}}$=$\frac{\frac{3}{2-3\sqrt{3}}+（2-\sqrt{3}）}{1-\frac{3}{2-3\sqrt{3}}•（2-\sqrt{3}）}$=$\frac{3+（2-\sqrt{3}）•（2-3\sqrt{3}）}{2-3\sqrt{3}-3（2-\sqrt{3}）}$=2$\sqrt{3}$-4，
故答案为：2$\sqrt{3}$-4．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式的应用，同角三角的基本关系，属于基础题．