题目内容

设点An（xn，0），Pn（xn，2n-1）和抛物线Cn：y=x2+anx+bn（n∈N*），其中an=-2-4n-
1
2n-1
，xn由以下方法得到：x1=1，点P2（x2，2）在抛物线C1：y=x2+a1x+b1上，点A1（x1，0）到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点Pn+1（xn+1，2n）在抛物线Cn：y=x2+anx+bn上，点An（xn，0）到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离．
（Ⅰ）求x2及C1的方程．
（Ⅱ）证明{xn}是等差数列．
（Ⅰ）由题意得A1（1，0），C1：y=x2-7x+b1，
设点P（x，y）是C1上任意一点，
则|A1P|=
(x-1)2+y2
=
(x-1)2+(x2-7x+b1)2

令f（x）=（x-1）2+（x2-7x+b1）2
则f'（x）=2（x-1）+2（x2-7x+b1）（2x-7）
由题意得f'（x2）=0，
即2（x2-1）+2（x22-7x+b1）（2x2-7）=0
又P2（x2，2）在C1上，∴2=x22-7x2+b1
解得x2=3，b1=14
故C1的方程为y=x2-7x+14
（Ⅱ）设点P（x，y）是Cn上任意一点，
则|AnP|=
(x-xn)2+y2
=
(x-xn)2+(x2+anx+bn)2

令g（x）=（x-xn）2+（x2+anx+bn）2
则g'（x）=2（x-xn）+2（x2+anx+bn）（2x+an）
由题意得g'（xn+1）=0
即2（xn+1-xn）+2（xn+12+anx+bn）（2xn+1+an）=0
又∵2n=xn+1，∴（xn+1-xn）+2n（2xn+1+an）=0（n≥1），
即（1+2n+1）xn+1-xn+2nan=0??（*）
下面用数学归纳法证明xn=2n-1，
①当n=1时，x1=1，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即xk=2k-1，
则当n=k+1时，由（*）知（1+2k+1）xk+1-xk+2kak=0，
又ak=2-4k-
1
2k-1
，∴xk+1=
xk-2kak
1+2k+1
=2k+1，
即n=k+1时，等式成立．
由①②知，等式对n∈N*成立，
故{xn}是等差数列．
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设点An（xn，0），Pn（xn，2n-1）和抛物线Cn：y=x2+anx+bn（n∈N*），其中an=-2-4n-
12n-1
，xn由以下方法得到：x1=1，点P2（x2，2）在抛物线C1：y=x2+a1x+b1上，点A1（x1，0）到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点Pn+1（xn+1，2n）在抛物线Cn：y=x2+anx+bn上，点An（xn，0）到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离．
（Ⅰ）求x2及C1的方程．
（Ⅱ）证明{xn}是等差数列．
设点列An（xn，0）、Pn（xn，2n-1）和抛物线列Cn：y=x2+
x
2n
+an（n∈N*），xn由以下方法得到：点Pn+1（xn+1，2n）在抛物线Cn：y=x2+
x
2n
+an上，点An（xn，0）到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离；试写出xn+1和xn之间的递推关系式为xn+1=
 
（用xn表示）．
精英家教网如图，
BC
的大小是
AB
大小的k倍，
BC
的方向由
AB
的方向逆时针旋转θ角得到，则我们称
AB
经过一次（θ，k）延伸得到
BC
． 已知
OA1
=(1，0)
（1）向量
OA1
经过2次(
π
2
，
1
2
)延伸，分别得到向量
A1A2
、
A2A3
，求
A1A2
、
A2A3
的坐标．
（2）向量
OA1
经过n-1次(
π
2
，
1
2
)延伸得到的最后一个向量
为
An-1An
，（n∈N*，n＞1），设点An（xn，yn），求An的极限位置A(
lim
n→∞
xn，
lim
n→∞
yn)
（3）向量
OA1
经过2次（θ，k）延伸得到向量
A1A2
、
A2A3
，其中k＞0，θ∈（0，π），若
OA1
、
A1A2
、
A2A3
恰能够构成一个三角形（即A3与O重合），求θ，k的值．
设点An（xn，0），Pn（xn，2n-1）和抛物线Cn：y=x2+anx+bn（n∈N*），其中an=-2-4n-，xn由以下方法得到：x1=1，点P2（x2，2）在抛物线C1：y=x2+a1x+b1上，点A1（x1，0）到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点Pn+1（xn+1，2n）在抛物线Cn：y=x2+anx+bn上，点An（xn，0）到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离．
（Ⅰ）求x2及C1的方程．
（Ⅱ）证明{xn}是等差数列．

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