题目内容
设点列An（xn，0）、Pn（xn，2n-1）和抛物线列Cn：y=x2+| x |
| 2n |
| x |
| 2n |
分析：本题考查数列与解析几何的综合问题，涉及了抛物线方程、直线与抛物线的关系、导数及其几何意义等多方面的知识和方法．要充分利用点在抛物线上则满足抛物线方程，结合两点间的距离公式用点p（x，y）表示||AnP|，然后借助于导数，因为点An（xn，0）到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离，所以有f'（xn+1）=0，建立方程，最终使问题得到解决．
解答：解：由题意得设点P（x，y）是Cn上任意一点，
则|AnP|=
，令
=
．
则f'（x）=2（x-xn）+2（x2+
+an）（2x+
）
因为点An（xn，0）到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离，所以f'（xn+1）=0，
即2（xn+1-xn）+2（xn+12+
+an）（2xn+1+
）=0
又点Pn+1（xn+1，2n）在抛物线Cn：y=x2+
+an上，
∴2n=xn+12+
+an，从而可得xn+1=
，
故答案为：xn+1=
．
则|AnP|=
(x-xn)2+(x2+
|
| f(x) |
(x-xn)2+(x2+
|
则f'（x）=2（x-xn）+2（x2+
| x |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
因为点An（xn，0）到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离，所以f'（xn+1）=0，
即2（xn+1-xn）+2（xn+12+
| x |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
又点Pn+1（xn+1，2n）在抛物线Cn：y=x2+
| x |
| 2n |
∴2n=xn+12+
| xn+1 |
| 2n |
| xn-1 |
| 2n+1+1 |
故答案为：xn+1=
| xn-1 |
| 2n+1+1 |
点评：本题的综合性极强，是多种知识和方法的汇总，处理起来难度较大，不仅需要具备综合运用知识的能力，还要运算准确
练习册系列答案
相关题目
（n∈N*），xn由以下方法得到：点Pn+1（xn+1，2n）在抛物线
上，点An（xn，0）到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离；试写出xn+1和xn之间的递推关系式为xn+1= （用xn表示）．