Question

如图，

BC

的大小是

AB

大小的k倍，

BC

的方向由

AB

的方向逆时针旋转θ角得到，则我们称

AB

经过一次（θ，k）延伸得到

BC

． 已知

OA1

=(1，0)
（1）向量

OA1

经过2次(

π

2

，

1

2

)延伸，分别得到向量

A1A2

、

A2A3

，求

A1A2

、

A2A3

的坐标．
（2）向量

OA1

经过n-1次(

π

2

，

1

2

)延伸得到的最后一个向量
为

An-1An

，（n∈N^*，n＞1），设点A_n（x_n，y_n），求A_n的极限位置A(

lim

n→∞

xn，

lim

n→∞

yn)
（3）向量

OA1

经过2次（θ，k）延伸得到向量

A1A2

、

A2A3

，其中k＞0，θ∈（0，π），若

OA1

、

A1A2

、

A2A3

恰能够构成一个三角形（即A₃与O重合），求θ，k的值．

Answer 1

分析：（1）向量

OA1

经过1次(

π

2

，

1

2

)延伸，得到向量

A1A2

 所在有向线段正向与y轴正向相同，且模为

1

2

，A2（1，

1

2

），

A1A2

=(0，

1

2

)，类似的，求出

A2A3

=(-

1

4

，0)
（2）

OAn

=

OA1

+

A1A2

+…+

An-1An

，利用向量运算求出表达式，得出x_n，y_n再求极限．
（3）若

OA1

、

A1A2

、

A2A3

恰能够构成一个三角形，即

OA

+

A1A2

+

A2A3

=

0

，建立关于的方程组，再解方程组即可．

解答：解：（1）

A1A2

=(0，

1

2

)，

A2A3

=(-

1

4

，0)
（2）

A3A4

=(0，-

1

8

)，

A4A5

=(

1

16

，0)，

A5A6

=(0，

1

32

)，…
因为

OAn

=

OA1

+

A1A2

+…+

An-1An

所以

lim

n→∞

xn=1-

1

4

+

1

16

-

1

64

+…=

4

5

，

lim

n→∞

yn=

1

2

-

1

8

+

1

32

-…=

2

5

所以，A(

4

5

，

2

5

)
（3）

A1A2

=(kcosθ，ksinθ)，

A2A3

=(k2cos2θ，k2sin2θ)
又∵

OA

+

A1A2

+

A2A3

=

0

∴（1+kcosθ+k²cos2θ，ksinθ+k²sin2θ）=（0，0）
∴

1+kcosθ+k2cos2θ=0① ksinθ+k2sin2θ=0②

解得：k=1，θ=120°

点评：本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，极限运算，方程的思想．