题目内容

15.已知命题p:?x∈R,${(\frac{1}{10})^{x-3}}$≤cos2.若(?p)∧q是假命题,则命题q可以是(  )
A.若-2≤m<0,则函数f(x)=-x2+mx在区间(-4,-1)上单调递增
B.“1≤x≤4”是“${log_{\frac{1}{5}}}$x≥-1”的充分不必要条件
C.x=$\frac{π}{3}$是函数f(x)=cos 2x-$\sqrt{3}$sin 2x的一条对称轴
D.若a∈[$\frac{1}{2}$,6),则函数f(x)=$\frac{1}{2}$x2-alnx在区间(1,3)上有极值

分析 由已知可得命题p为假命题;若(?p)∧q是假命题,则q也是假命题;逐一四个答案中命题的真假,可得答案.

解答 解:cos2<0,${(\frac{1}{10})^{x-3}}$>0恒成立,
故命题p:?x∈R,${(\frac{1}{10})^{x-3}}$≤cos2为假命题;
若(?p)∧q是假命题,
则q也是假命题;
A中,若-2≤m<0,则函数f(x)=-x2+mx在区间(-4,-1)上单调递增,为真命题;
B中,“1≤x≤4”是“${log_{\frac{1}{5}}}$x≥-1”的充分不必要条件
C中,x=$\frac{π}{3}$是函数f(x)=cos 2x-$\sqrt{3}$sin 2x=2cos(2x+$\frac{π}{3}$)的一条对称轴,为真命题;
D中,函数f(x)=$\frac{1}{2}$x2-alnx,f′(x)=x-$\frac{a}{x}$,当a=$\frac{1}{2}$时,f′(x)=x-$\frac{1}{2x}$>0在区间(1,3)上恒成立,函数无极值,故D为假命题;
故选:D

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了充要条件,复合命题,函数的单调性,函数的对称性,函数的极值等知识点,难度中档.

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