Question

7．已知函数y=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处切线斜率为-3
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极大值与极小值的差．

Answer 1

分析 （1）求出y'=3x²+6ax+3b，由题意得12+12a+3b=0，且k=y′|_x=1=3+6a+3b=-3，由此能求出a=-1，b=0，从而y=x³-3x²+c，则y'=3x²-6x，由此利用导数性质能求出函数的单调区间．
（2）由y'=3x²-6x=0，解得x=0，x=2，推导出函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c-4，从而能求出函数的极大值与极小值的差．

解答 解：（1）∵函数y=x³+3ax²+3bx+c，
∴y'=3x²+6ax+3b，
∵函数y=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极值，
∴当x=2时，y′=0，即12+12a+3b=0，①
∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，
∴k=y′|_x=1=3+6a+3b=-3，②
联立①②，解得a=-1，b=0，
∴y=x³-3x²+c，则y'=3x²-6x，
令y'=3x²-6x＞0，解得x＜0或x＞2，
令y'=3x²-6x＜0，解得0＜x＜2，
∴函数的单调递增区间是（-∞，0），（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；
（2）由（1）可知，y'=3x²-6x，
令y′=0，即3x²-6x=0，解得x=0，x=2，
∵函数在（-∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c-4，
∴函数的极大值与极小值的差为c-（c-4）=4．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的极大值与极小值的差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质及导数的几何意义的合理运用．