Question

10．已知△ABC的外接圆半径为R，C=60°，则$\frac{a+b}{R}$的取值范围为$（{\sqrt{3}，2\sqrt{3}}]$．

Answer 1

分析 先由正弦定理和两角和与差的正弦公式得到$\frac{a+b}{R}$=2$\sqrt{3}$sin（A+30°），再根据正弦函数的图象和性质即可求出．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=2R$，
∴a=2RsinA，b=2RsinB，
∴$\frac{a+b}{R}$=2sinA+2sinB=2sinA+2sin（120°-A）
=2（sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA）=2$\sqrt{3}$sin（A+30°），
∵C=60°，
∴0°＜A＜120°，
∴30°＜A+30°＜150°，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+30°）≤1，
∴$\sqrt{3}$＜2$\sqrt{3}$sin（A+30°）≤2$\sqrt{3}$，则$\frac{a+b}{R}$的取值范围为$（{\sqrt{3}，2\sqrt{3}}]$．
故答案为：$（{\sqrt{3}，2\sqrt{3}}]$．

点评 本题考查了正弦定理和两角和差的正弦公式以及诱导公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．