Question

3．已知离心率为$\frac{1}{2}$ 的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，且|AF|=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点F的直线交椭圆于B、C两点，设直线AB和AC分别与直线x=4交于点M，N，问x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意a+c=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求出a，b的值，即可求椭圆C的方程；
（2）设出BC所在直线方程x=ty+1，与椭圆方程联立，把AB，AC的方程用含有A，B的坐标表示，再由MP⊥NP，利用数量积为0求解．

解答 解：（1）由题意可得，a+c=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）依题意，直线BC的斜率不为0，设其方程为x=ty+1．
将其代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，整理得（4+3t²）y²+6ty-9=0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=-$\frac{6t}{4+3{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{t}^{2}}$．
直线AB的方程是y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），从而可得M（4，$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），
同理可得N（4，$\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$）．
假设x轴上存在定点P（p，0）使得MP⊥NP，则有$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=0．
∴$（p-4）^{2}+\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$=0
将x₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1代入上式，整理得（p-4）²-9=0，
解得p=1，或p=7．
∴x轴上存在定点P（1，0）或P（7，0），使得MP⊥NP成立．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线和圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量数量积在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．