Question

16．已知复数z满足（1+i）z=1-3i（i是虚数单位）
（1）求复数z的虚部；
（2）若复数（1+ai）z是纯虚数，求实数a的值；
（3）若复数z的共轭复数为$\overline{z}$，求复数$\frac{\overline{z}}{z+1}$的模．

Answer 1

分析 （1）由（1+i）z=1-3i，得$z=\frac{1-3i}{1+i}$，然后由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案；
（2）把复数z代入（1+ai）z化简，再由已知条件列出方程组，求解可得答案；
（3）由复数z求出$\overline{z}$，然后代入复数$\frac{\overline{z}}{z+1}$化简，再由复数求模公式计算得答案．

解答 解：（1）由（1+i）z=1-3i，
得$z=\frac{1-3i}{1+i}$=$\frac{（1-3i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}=\frac{-2-4i}{2}=-1-2i$，
∴复数z的虚部为：-2；
（2）（1+ai）z=（1+ai）（-1-2i）=2a-1-（2+a）i，
∵复数（1+ai）z是纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-1=0}\\{-（2+a）≠0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{2}$．
∴实数a的值为：$\frac{1}{2}$；
（3）由z=-1-2i，
得$\overline{z}=-1+2i$．
则$\frac{\overline{z}}{z+1}$=$\frac{-1+2i}{-1-2i+1}=\frac{2i（-1+2i）}{-2i•2i}=\frac{-4-2i}{4}$=$-1-\frac{1}{2}i$，
∴|z|=$\sqrt{（-1）^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴复数$\frac{\overline{z}}{z+1}$的模为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是中档题．