Question

13．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为$\frac{π}{2}$的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数，当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，0＜f（x）＜1，当x∈（0，$\frac{π}{2}$）且x≠$\frac{π}{4}$时，（x-$\frac{π}{4}$）f'（x）＜0，则方程f（x）=cos2x在[-2π，2π]上的根的个数为8．

Answer 1

分析 以$\frac{π}{4}$分界点进行讨论，确定函数的单调性，利用函数的图形，画出草图进行求解，即可得到结果

解答 解：∵当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，0＜f（x）＜1，f（x）为偶函数，
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）且x≠$\frac{π}{4}$时，（x-$\frac{π}{4}$）f'（x）＜0，
∴x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，f（x）为单调增函数；x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，f（x）为单调减函数，
在同一坐标系中作出y=cos2x和y=f（x）草图象如下，

由图知f（x）=cos2x在[-2π，2π]上的零点个数为8个．
故答案为8．

点评 本题考查函数的单调性，考查函数的零点，考查函数的周期性与奇偶性，利用数形结合的思想来求解，会化难为易．