Question

3．如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，$\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{DC}$，E_n（n∈N₊）为边AC上的一列点，满足$\overrightarrow{{E_n}A}=\frac{1}{4}{a_{n+1}}\overrightarrow{{E_n}B}-（3{a_n}+2）\overrightarrow{{E_n}D}$，其中实数列{a_n}中
a_n＞0，a₁=1，则{a_n}的通项公式为（　　）

• A． 2•3^n-1-1
• B． 2ⁿ-1
• C． 3ⁿ-2
• D． 3•2^n-1-2

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{DC}$，可得$\overrightarrow{{E}_{n}C}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{E}_{n}B}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{E}_{n}D}$，设m$\overrightarrow{{E}_{n}C}$=$\overrightarrow{{E}_{n}A}$，利用$\overrightarrow{{E_n}A}=\frac{1}{4}{a_{n+1}}\overrightarrow{{E_n}B}-（3{a_n}+2）\overrightarrow{{E_n}D}$，可得$\frac{1}{3}m$=$\frac{1}{4}$a_n+1，$\frac{2}{3}$m=-（3a_n+2），即$\frac{1}{4}$a_n+1=-$\frac{1}{2}$（3a_n+2），证明{a_n+1}是以2为首项，3为公比的等比数列，即可得出结论．

解答 解：因为$\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{DC}$，
所以$\overrightarrow{{E}_{n}C}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{E}_{n}B}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{E}_{n}D}$，
设m$\overrightarrow{{E}_{n}C}$=$\overrightarrow{{E}_{n}A}$，则
因为$\overrightarrow{{E_n}A}=\frac{1}{4}{a_{n+1}}\overrightarrow{{E_n}B}-（3{a_n}+2）\overrightarrow{{E_n}D}$，
所以$\frac{1}{3}m$=$\frac{1}{4}$a_n+1，$\frac{2}{3}$m=-（3a_n+2），
所以$\frac{1}{4}$a_n+1=-$\frac{1}{2}$（3a_n+2），
所以a_n+1+1=3（a_n+1），
因为a₁+1=2，
所以{a_n+1}是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以a_n+1=2•3^n-1，
所以a_n=2•3^n-1-1．
故选：A．

点评 本题考查数列与向量的综合，考查三点共线，考查等比数列的证明，证明{a_n+1}是以2为首项，3为公比的等比数列是关键．