Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥DB，其中三棱锥P-BCD的三视图如图所示，且sin∠BDC=

3

5

（I）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若PA与平面PCD所成角的正弦值为 

12 13

65

，求AD的长．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得AD⊥PD，AD⊥DB，从而AD⊥PD，又AD⊥DB，进而AD⊥平面PBD，由此能证明AD⊥PB．
（Ⅱ）以D为原点，以DA、DB、DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD．

解答： （Ⅰ）证明：由三视图得PD⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，∴AD⊥PD，
又AD⊥DB，且PD∩BD=D，PD，BD?平面PBD，
∴AD⊥PD，又AD⊥DB，且PD∩BD=D，
PD、BD?平面PBD，
∴AD⊥平面PBD，
又PB?平面PBD，∴AD⊥PB．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，PD、AD、BD两两垂直，
以D为原点，以DA、DB、DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所求的空间直角坐标系，
设AD=λ，λ＞0，结合sin∠BDC=

3

5

，得：
A（λ，0，0），B（0，3，0），C（-

9

5

，-

12

5

，0），P（0，0，4），
∴

PA

=（λ，0，-4），

DC

=（-

9

5

，

12

5

，0），

DP

=（0，0，4），
设

n

=（x，y，z）为平面PCD的法向量，
由题意知

DP • n =4z=0 DC • n =- 9 5 x+ 12 5 y=0

，
取y=3，得

n

=（4，3，0），
设PA与平面PCD所成角为θ，
∵PA与平面PCD所成角的正弦值为

12 13

65

，
∴sinθ=|cos＜

PA

，

n

＞|=|

4λ

5 λ2+16

|=

12 13

65

，
解得λ=6，∴AD=6．

点评：本题考查几何体的三视图、线面角的计算、线面、线线垂直的位置关系，考查空间想象能力以及论证推理能力．