Question

探究函数f（x）=x+

4

x

，x∈（0，+∞）的性质，列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

（1）根据以上列表画出f（x）的图象，写出f（x）的单调区间及f（x）的最值；
（2）证明：函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间（0，2）上递减．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据表中y值随x值描点画图，可得图象；根据此函数的大概图象写出f（x）的单调区间及f（x）的最值；
（2）利用函数在（0，2）上的导数符号从而确定函数在区间上（0，2）的单调性．

解答： 解：（1）根据表中x及对应的y的值分别为点的横坐标与纵坐标描点画图，图象如下图



y值随x值变化的特点可知f（x）在（-∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，当x=2时y_最小=4；
（2）由f（x）=x+

4

x

，∴f′（x）=1-

4

x2

=

(x+2)(x-2)

x2

，
∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴此函数在区间上（0，2）是递减的．

点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明，利用导数证明单调性是常用的方法，同时考查了作图能力，属于中档题．