Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点F为PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDF；
（2）求证：PC⊥BD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设BD与AC交于点O，利用三角形的中位线性质可得OF∥PA，从而证明PA∥平面BDF．
（2）由 PA⊥平面ABCD 得PA⊥BD，依据菱形的性质可得 BD⊥AC，从而证得 BD⊥平面PAC，进而PC⊥BD．

解答： 证明：（1）连接AC，BD与AC交于点O，连接OF．
∵ABCD是菱形，
∴O是AC的中点．
∵点F为PC的中点，
∴OF∥PA．
∵OF?平面BDF，PA?平面BDF，
∴PA∥平面BDF．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD．
又∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC．
又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC．
又∵PC?平面PAC，
∴PC⊥BD

点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、性质的应用，取BD与AC交于点O，是解题的突破口．