Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，求函数y=f（x）的图象的两相邻对称轴的距离为

π

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数是偶函数求得φ，再由函数y=f（x）的图象的两相邻对称轴的距离为

π

2

求得函数周期，由周期公式求ω，则函数解析式可求；
（2）利用函数图象的平移变换和伸缩变换求得y=g（x）的解析式，然后利用复合函数单调性的求法求y=g（x）的单调递减区间．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，
∴φ=

π

2

+kπ，k∈Z，
又0＜φ＜π，∴φ=

π

2

．
由函数y=f（x）的图象的两相邻对称轴的距离为

π

2

，得

T

2

=

π

2

，
∴T=π，则ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象的解析式为：g(x)=2cos(

x

2

-

π

3

)．
由2kπ≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+π，得

2π

3

+4kπ≤x≤

8π

3

+4kπ，k∈Z．
∴y=g（x）的单调递减区间为[

2π

3

+4kπ，

8π

3

+4kπ]，k∈Z．

点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，考查了三角函数的图象平移，训练了复合函数单调性的求法，是中档题．